超神秘的完美数，无穷的魅力，极具挑战性的数学问题

大家好，今天小编来为大家解答超神秘的完美数，无穷的魅力，极具挑战性的数学问题这个问题，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

毕达哥拉斯曾经说过：“6象征着完美的婚姻，也象征着健康和美丽，因为它的各个部分都是完整的，它们的总和等于它本身。” '一些《圣经》的评论家认为，6和28是上帝创造世界时使用的基本数字，因为上帝花了六天创造世界，而二十八天是月亮创造世界所需的天数绕地球运行。圣奥古斯丁说：数字6本身是完美的，并不是因为上帝花了六天的时间创造了事物；而是因为数字6本身就是完美的。事实上，因为这个数字是一个完美的数字，所以上帝在六天内创造了一切。

中国文化中：战国有六谷、六畜、六国，秦始皇以六为国号，六常（仁、义、礼、智、信、孝），有二十个-天空四个方向的八个星座等等，6、28，在中国悠久的历史中，因为是完美数而闪闪发光。难怪有学者说中国比西方更早发现完美数。

完美数诞生后，吸引了众多数学家和业余爱好者像淘金一样去寻找完美数。长期以来，它对数学家和业余爱好者有着特殊的吸引力，他们无休止地寻找这些数字。接下来的两个完全数似乎是由公元一世纪毕达哥拉斯派成员尼克·马修斯发现的。他在《数论》一书中有这样一段话：或许正是如此，同样美丽和杰出。 美好的事物稀少易数，而丑恶的事物却绵延不绝；因此，得失的数量是非常多且无序的，而且其发现也是不系统的。

但完全数很容易数，而且符合逻辑：因为个位上只有一个6；十位数只有一个28；第三个是百位数深496；第四个是千位，尾颈上的位数是8128。它们有相同的特点：尾数都是6或8，而且总是偶数。但茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然隐藏在数千万位数的深处！是33550336，查找方式比较复杂和混乱。直到十五世纪，它才由一个不知名的人给出。对完美数字的探索永无止境。

17世纪，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔曾公开预言：“能找到的完美数并不多，就像人类一样，找到一个完美的人并不容易。” '历史也证实了他的预言。完美数既稀有又美丽，因此被称为数论宝库中的“钻石”。

同时，我们还发现完美数有许多奇妙的性质。例如，如果存在一个完全数，就会有一个表达式将1 表示为不同单位分数之和。例如，如果有一个完全数6，则1 的单位分数之和有以下表达式：

类似地，对于完全数28，以下1 的单位分数之和还有另一个表达式：

这很容易理解。只需将完全数表达式两边除以完全数即可。因此，从完全数的表达

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 从1+2+4+8+16+31+62+124+248开始，两边除以496，可得：

此外，它还具有以下特殊的迷人特性：

(1) 所有完美数都是三角数。例如：6=1+2+3； 28=1+2+3+.+6+7； 496=1+2+3+.+30+31； 8128=1+2+3.+126+127。

(2) 所有完全数的倒数都是调和数。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2； 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2； 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。

(3)式可以表示为连续奇三次数之和。除6 之外的完全数可以表示为连续奇数三次数之和并有规律地增加。例如：28=1+3^3； 496=1^3+3^3+5^3+7^3； 8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3; 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。

(4)可以表示为一些连续的2的正整数幂的和。不仅如此，它们的个数还是连续的素数。例如：6=2^1+2^2； 28=2^2+2^3+2^4； 496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8; 8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12； 33550336=2^12+2^13+……+2^24。

(5)所有完美数都以6或8结尾。如果以8结尾，则必须以28结尾。（科学家尚未发现以其他数字结尾的完美数。）

（6）每位数字的滚动公式的个位数为1。对于6以外的完全数，将其数字相加，直到成为个位数，则个位数必须为1。例如：28：2+8=10，1+0=1； 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1； 8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1； 33550336:3+3+5+5+0+3+6=28，2+8=10，1+0=1。

(7) 除以3 余数为1，除以9 余数为1，1/2 除以27 余数为1。对于6 以外的完全数，余数为1除以3，除以9余1，除1/2除以27余1。28/3商9余1，28/9商3余1 、28/27商1余1、496/3商165余1、496/9商55余1、8128/3商2709余1、8128/9商903余1、8128/27商301 超过1。

1946年，人们开始使用计算机来求完美数，人们借助这个强大的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找到的完美数并不多，就像人类一样，找到一个完美的人并不容易。”直到今天，人们还没有发现奇完全数的存在。因此，是否存在奇数和完全数就成为数论中的一个大问题。我只知道，即使有，这个数字也非常大，需要满足一系列严格的条件。

2001年11月11日，数学家找到了第39个完全数：

它有8107891 位。

截至2013年2月6日，仅找到48个完全数。无限个自然数中，有多少个完全数？

迄今为止已找到的48个完全数都是偶数。是否存在奇完全数？如果存在，则它必须大于10^300。目前还没有人能够回答这些问题。尽管还没有发现奇完全数，但当代数学家奥斯汀·奥尔证明，如果存在奇完全数，其形式一定是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。 10^300以下的自然数中没有奇完全数。

在探索完美数的过程中，还有这样一个轶事：

1936年，美国美联社播出了一篇新闻报道，《l纽约先驱论坛报》，报道：“博士。 S.I. Kireger 发现了一个155 位完美数。

，该号码的位数为：26815615859885194199148049996411692254958731641184786755447122887443528060146978161514511280138383284395055028 4 65118831722842125059853682308859384882528256。

医生说，他花了五年的时间来证明这确实是一个完美的数字。事实上，欧几里得早在两千多年前就已经告诉大家，这是一个完美数。

，其中n 是正整数。后来经欧拉严格证明，欧几里得公式是正确的。所以，那些数学狂热分子要小心了，他们发现的可能是一块‘旧大陆’，而不是新成就。

更令人惊奇的是，如果一个正整数（包括它本身）的所有因数之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为倍数完美数。例如，120 的所有因数都是

1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120。

这些因数之和为360，正好是120 的三倍。因此，120 是一个倍数完全数，3 的倍数称为这个完全数的指标。多重完全数的正则性比完全数差，很难找到确定的公式。唯一的方法就是用计算机求更大的多重完美数。

过去，人们竭尽全力只找到了大约700个完美数，其中最大的“指标”为8。最近，美国科罗拉多州的数学家Fred Helenius 编写了一个计算机程序，扩展了完美数的数量为1,288。其中包括14 个天文数字，“指数”为9，最大数字有588 位。

根据理论研究，对于每个“指标”来说，完美数的数量是有限的。 “指数”为3 的完全数只有6 个； “指数”为4 的完美数只有36 个； “指数”为5的完美数只有65个。然而，“指数”为8的完美数有400多个，几乎全部都是由海伦纽斯发现的。

1644年，法国数学家梅森在其著作《物理数学随感》中指出，潘格尔斯给出的28个“完美数”中只有8个是正确的，即当P=2、3、5、7、13、17时， 19和31，2^(P-1)(2^P-1)是一个完全数，同时添加P=67、P=127和P=257。没有证明，他就武断地说：当P257时，只有这11个完全数。这就是著名的“梅森猜测”。

“梅森猜想”引起了很多人的研究，德国数学家莱布尼茨和哥德巴赫都认为它是正确的；他们低估了完美数的难度。 1730年9月，被誉为世界四大数学家之一的欧拉23岁，正值壮年。他做出了非凡的举动，并给出了一个出色的定理：“每个偶完全数都是2^(P-1)(2^P-1) 形式的自然数，其中P 是素数，2^P 也是素数-1素数'，并给出证明。这是欧几里得定理的逆命题。有了欧几里得和欧拉两个倒数定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断偶数是否是完全数的充要条件。

欧拉在研究了“梅森猜想”后指出：“我斗胆断言，对于每一个小于50，甚至小于100的素数，2^(P-1)(2^P-1)是唯一的完美数P 2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我从一个美丽的定理开始得到这些结果，并且我相信它们是正确的。 '

1772年，欧拉因劳累过度双目失明，但他仍然没有停止探索；他在给瑞士数学家丹尼尔的信中说：“我通过心算证明，当P=31时，2^30(2^31-1)是第8个完全数。” “他的坚韧和解决问题的能力令人惊叹。同时，他发现自己认为P=41和P=47是完美数的想法是错误的。欧拉定理和他发现的第八个完美数的方法给完美数的研究带来了深刻的变化，但人们仍然无法彻底解决“梅森猜想”。

1876年，法国数学家卢卡斯创造了一种测试素数的新方法，证明P=127确实是一个完美数，这使得“梅森猜想”之一成为事实；他的新方法给人们探索完美数的机会带来了生机，同时动摇了“梅森猜想”，因为数学家利用他的新方法发现猜测的P=67和P=257都不是完美数。从1883年到1931年的48年间，数学家发现“默森猜想”中，P257范围内缺少三个完全数：P=61、P=89和P=107。

尽管“梅森猜想”存在错误和遗漏，但梅森作为17世纪欧洲的思想渠道发挥着极其不寻常的作用，在学者心目中拥有很高的地位。为了纪念他对科学的贡献，1897年第一届国际数学家大会上，（2^P-1）类型的素数被命名为“梅森素数”。可以说，只要找到梅森素数质数，你可以找到它对应的完美数。

分布式计算技术的出现，让对完美数的探索如虎添翼。 1996年初，美国计算机专家沃特曼编写了梅森素数计算程序并放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的“互联网梅森素数搜索”（GIMPS）项目，这也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目。该项目主要利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的计算能力。能力。美国计算机专家Cullworth 于1997 年建立了PrimeNet，以自动分配搜索间隔和向GIMPS 发送报告。人们只要从该项目下载开源的Prime95或MPrime软件，就可以立即搜索梅森素数。

为了激励人们寻找梅森素数，促进网格技术的发展，总部位于美国的电子新前沿基金会（EFF）于1999年3月向全世界宣布建立“合作组织”，通过GIMPS寻找梅森素数项目。计算奖”。它规定，第一个发现超过100 万个数字的个人或机构将获得5 万美元的奖励。以下奖金为：1000万位以上10万美元；超过1亿位数字15万美元；超过10 亿位数字需要25 万美元。但绝大多数研究人员参与这个项目并不是为了钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

加州大学洛杉矶分校计算机专家史密斯于2008年首次发现了位数超过1000万位的梅森素数——2^43112609-1，共有12,978,189位。这一重大成就被著名的《时代》 杂志评为“2008 年50 项最佳发明”之一。然而，史密斯却秘密使用学校的75台计算机参与GIMPS项目；这种行为本来应该受到惩罚，但由于他给学校带来了荣耀，所以受到了学校的表彰。不久前，他获得了EFF颁发的10万美元大奖和一枚金牌。

经证实，2017年12月26日，来自美国田纳西州的51岁联邦快递司机、前电气工程师乔纳森·帕克发现了第50个梅森素数，值为2^77232917 -1，即77232917 2 的平方减1 的倍。

它是一个23249425位的数字，比2016年1月发现的第49个梅森素数多了近100万位。它可以填满9000页纸，一秒钟写1英寸（2.54厘米）需要54天。整个号码长37英里（59.5公里），比49号长3英里（4.8公里）。

Jonathan Pac 已加入GIMPS 项目（搜索梅森素数的分布式网络计算），并已探索梅森素数超过14 年。这次他使用自己的一台Core i5-6600 计算机，连续运行六天，做出了这个重大发现，这是由四个人在五个不同平台上使用四种不同算法进行验证的：

-Aaron Blowser，Intel Xeon 服务器，Prime95，37 小时。

- David Stanfill，AMD RX Vega 64 显卡，gpuOwL，34 小时。

- Andreas Hoglund，NVIDIA Titan Black 显卡，CUDALucas，73 小时；亚马逊AWS，Mlucas，65 小时。

- Ernst Mayer，32 核Xeon 服务器，Mlucas，82 小时。

乔纳森·帕克因此获得了30,000 美元的奖金。谁发现第一个超过1亿位的梅森素数，谁将获得15万美元的奖金！拥有10亿位数字的将奖励25万美元！目前，全球192个国家和地区超过60万人使用超过100万台计算机参与GIMPS项目。到目前为止，通过该项目已经发现了15个梅森素数，发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。换句话说，GIMPS 项目发现了15 个完美数。全球间接寻找新完美数的“数字游戏”仍在继续。

值得一提的是，人们在寻找完美数的同时，也在对梅森素数的重要性质————分布规则进行研究。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数之间的分布时而稀疏，时而密集，而且极不规则。因此，研究梅森素数的分布规则似乎比寻找新的完全数更加困难。

梅森素数在密码学中具有潜在的应用。现在人们已经在现代密码设计领域（例如公钥加密和数字签名）使用了大素数。原理是：将一个大数分解为几个素数的乘积是非常困难的，但是几个素数相乘却相对容易。容易多了。在这种密码设计中，需要使用较大的素数。质数越大，密码被破译的可能性就越小。

俗话说“一叶知秋”、“滴水映海”。当我们追溯探索完美数的过程时，我们可以看到，这个探索涉及数学家和数学爱好者的辛勤工作。正是因为他们的不懈努力，才取得了可喜的进步，创造了今天的辉煌。

无论是否存在奇数完全数，我们还有第二个悬而未决的问题：偶数完全数的集合是有限的还是无限的。或者说，这相当于询问是否存在有限或无限的梅森素数。人们在探索中发现，随着多重完美数的数量越来越多，其分布密度越来越稀疏。它们会以正整数消失吗？这是一个悬而未决的问题。数学的世界是奇妙而神秘的。数学的奥秘需要你坚持不懈的探索。希望你们能够热爱数学，研究数学，探索数学中未知的奥秘。