撰文 | 阮一峰
有人在 Stack Exchange 上提出了一个问题：
“我一直认为虚数很难理解。
我的中学老师说虚数是-1的平方根。
但是什么数的平方等于 -1？计算器显示错误！
直到今天，我还是不明白。谁能解释一下虚数是什么？
这是为了什么？”
帖子下面，很多人都给出了自己的解释，并推荐了一篇很棒的文章《虚数图解》，看完之后，我恍然大悟，原来虚数这么简单，一点也不奇怪，也不难懂！
接下来我会用我自己的话来阐述一下我对虚数的理解。
一
什么是虚数？
首先，想象有一条数轴，上面有两个相反的点：+1 和 -1。
这个数轴的正数部分可以绕原点旋转，显然如果逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到如下关系：
（+1）*（逆时针旋转 90 度）*（逆时针旋转 90 度）=（-1）
如果我们消除 +1，公式将变成：
（逆时针旋转 90 度）^2 = (-1)
令“逆时针旋转90度”为i：
i^2 = (-1)
这个公式看起来很熟悉，这是虚数的定义公式。
因此我们可以知道虚数i是逆时针旋转90度，i不是一个数，而是一个旋转量。
二
复数的定义
由于i表示旋转量，所以我们可以用i来表示任意实数的旋转状态。
如果把实轴看作横轴，虚轴看作纵轴，就构成了一个二维平面，任何一个正实数旋转到一定的角度，一定唯一地对应到这个平面上的一个点。
只要确定了横纵坐标，比如（1，i），就能确定一个实数的旋转量（45度）。
数学家们用一种特殊的方式来表示这种二维坐标：用“+”号把横坐标和纵坐标连接起来。例如，（1，i）表示为1+i。这种表示方式被称为复数，其中1称为实部，i称为虚部。
为什么我们需要这样表达二维坐标？下一节将告诉你为什么。
三
虚数的作用：加法
虚数的引入大大方便了涉及旋转的计算。
比如物理学中需要计算“力的合成”，假设一个力是3+i，另一个力是1+3i，那么它们的合成力是多少？
根据“平行四边形定律”，你立即得到合力是（3 + i）+（1 + 3i）=（4 + 4i）。
这就是虚数加法的物理意义。
四
虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的变化，则处理起来更方便。
例如，船的航向是 3 + 4i。
如果船的航向逆时针增加 45 度，那么新的航向是多少？
45 度的航向是 1 + i。要计算新的航向，只需将两个航向 3 + 4i 和 1 + i 相乘（原因将在下一节中解释）：
（3 + 4i）*（1 + i）=（-1 + 7i）
因此，船的新航向是-1 + 7i。
如果航向逆时针增加 90 度，则更简单。由于 90 度航向为 i，因此新航向等于：
（3 + 4i）*i = （-4 + 3i）
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转的角度。
五
虚数乘法的数学证明
为什么要改变复数的旋转角度，我们只需要做乘法？
这是这个现象的数学证明，其实非常简单。
任何复数a+bi都可以重写成旋转半径r与横轴之间的角度θ的形式。
假设有两个复数 a + bi 和 c + di，可以重写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
将这两个复数相乘，（a + bi）（c + di）相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开以下乘法公式可得
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i(cosα * sinβ + sinα * cosβ)
根据三角公式，上述公式等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
（a + bi）（c + di）= r1 * r2 *（cos（α+β）+ isin（α+β））
由此证明了两个复数的乘积等于旋转半径的乘积和旋转角度的加法。
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